Ako sa vyvíjala matematika

1. etapa: vznik matematiky ako samostatnej teoretickej vedy

Vznikom „čistej“ matematiky v antickom Grécku s jej logickým systémom poučiek a ich dôkazov sa končí táto etapa asi v 5. storočí pred n.l. Je to najdlhšia etapa. Formovanie sa aritmetiky a geometrie, ktoré sú bezprostredne viazané s praxou trvá tisícročia.

Ak chceme nazrieť do predhistórie matematiky, aby sme ustálili, ako dlho dozrievali podmienky pre jej vznik, nezostáva nám nič iné, ako nazrieť do všeobecných dejín ľudstva.

Dozvieme sa, že dlhá, veľmi dlhá doba uplynula, než sa u človeka objavili prvé záblesky myslenia a reči. Od prvej výroby primitívnych nástrojov až do vzniku a ustálenia spoločnosti prvobytných ľudí uplynulo najmenej 600 000 rokov.

Dnes potrebujeme veľké čísla, keď chceme počtom uplynulých rokov vyjadriť dĺžku trvania doby, v ktorej schopnosti ľudí dozrievali na to, aby poznali aspoň najmenšie čísla. Domnievame sa, že v tomto období sa vynorili spolu s prvými myšlienkami aj prvé predstavy o počte vecí. Poznanie tvaru a počtu bolo však veľmi hmlisté a nejasné. Málo sa líšilo od toho, ako si všímajú a rozoznávajú kvalitu a kvantitu zvieratá.

Pri rozvíjajúcej sa výrobe dozrelo štádium, keď ľudia pocítili potrebu zachytiť a vyjadriť viac – menej inštinktívne poznávanú charakteristiku tvaru a počtu a vzájomne sa s ňou oboznámiť. Všetok dostupný materiál svedčí o tom, že ešte stále išlo len o príslušný konkrétny fakt, a vôbec nie o všeobecný pojem rovnakosti, podobnosti, odlišnosti, opakovania sa, počtu atď...Veď v mnohých primitívnych jazykoch sa ešte donedávna vyskytovali rôzne „číslovky“ pre rozličné druhy počítaných predmetov. Zvyšky toho nájdeme aj v moderných jazykoch. V slovenčine napríklad kopa vajec alebo orechov znamená 60 kusov. Nemôžeme však v tom istom zmysle povedať kopa stromov alebo koní. Práve tak pár koní, topánok atď. znamená dva kusy, ale nikto nepovie pár kníh. Štúdium najstarších jazykov ukazuje, že ani v dobe, keď sa objavujú prvé zápisy, nebol známy pojem čísla oddeleného od konkrétnych predmetov. Najstaršie zápisy, ktoré majú viac ako päť až šesťtisíc rokov, sa našli v hrobkách, v ruinách chrámov a v iných vykopávkach. Nepoznajú taký znak pre číslo, ktorý by bol uvedený bez spojenia s konkrétnym druhom predmetov. No a zápisy o počte sa neobjavili rozhodne skôr, kým nebolo potrebné niečo zaznamenať. Zo staršej doby kamennej nepoznáme jediný zápis, ktorý by sa týkal abstraktného počtu alebo tvaru. Tisíce rokov uplynulo dovtedy, než došlo k prvým zápisom. Ani začiatky mladšej doby kamennej nám nepodávajú dôkazy o prejavoch prvých koncepcií pojmu čísla a tvaru. Ešte veľmi dlho musíme listovať v dejinách ľudstva, kým narazíme na prvé stopy toho, čo odlišuje matematiku od rátania“ odhadom“.

Matematika v Egypte a v Mezopotámii

Spolu s primitívnym roľníctvom vznikajú prvé zárodky remesiel. Vzniká napríklad hrnčiarstvo a tesárstvo. Neskôr dochádza k prvým výmenám predmetov medzi usadlosťami. Zdokonaľuje sa ľudská reč. Slová tejto reči vyjadrujú ešte stále konkrétne predmety a udalosti. A veľmi málo abstraktných pojmov. Ďalší, tisíce rokov trvajúci vývin vedie k objasneniu koncepcie čísla. Základ bol už teda položený. V najranejších stupňoch rozvoja kultúry viedlo počítanie predmetov k ustáleniu niektorých jednoduchých pojmov aritmetiky prirodzených čísel. Na základe rozvinutého ústneho spôsobu počítania vznikajú písomné systémy, ktoré dovoľovali vyjadriť počet konkrétnych predmetov. Postupne sa ustaľujú štyri základné počtové úkony (sčítanie, odčítanie, násobenia a delenie – to však prichádza oveľa neskôr). Z toho sa vyvíjajú zárodky najstaršej matematickej teórie – aritmetiky. V dobe okolo 5 000 až 3 000 rokov pred n.l. vznikli pri ústí rieky Níl (Egypt) a medzi riekami Eufrakt a Tigris (Mezopotámia) nové, pokročilejšie formy spoločnosti. Potreby poľnohospodárstva viedli k regulácii riek, k stavbe kanálov a nádrží. Vznikajú veľké mestá, administratíva, daňový systém, bolo treba zostaviť kalendár, vypočítať dobu siatia, treba spočítať také množstvo predmetov, vecí, dní, krokov, pre ktoré niet v jazyku slov. Zmerať dĺžku a objem predmetov, získať nevyhnutné znalosti o pohybe Slnka, Mesiaca, hviezd aby sa dal počítať „čas“. Potreby rozvinutej spoločnosti dávajú bezprostredný podnet pre získanie poznatkov o počítaní a meraní. Z merania zeme, objemu nádob a astronómie sa vyvíjala neskôr mladšia sestra aritmetiky: geometria. Prv však, než vznikla a než sa oddelila od spoločného základu spoločenskej praxe aritmetika a geometria, bolo treba zhromaždiť veľké množstvo počtárskych a meračských skúseností. Počtárstvo a meračstvo bezprostredne spojené so spoločenskou praxou, prepletajúce sa navzájom, rozvíja sa s rozvojom spoločnosti na viacerých miestach súbežne, s menším či väčším oneskorením – zatiaľ nezávisle, samostatne. Najrýchlejší rozvoj badať tam, kde si potreby spoločnosti tento rozvoj vynucujú a kde sú pre to priaznivé podmienky. Je to na zavlažovanie a znalosť kalendára odkázaný Egypt, Mezopotámia a Čína (pravdepodobne len s malým časovým oneskorením). Neskôr niektoré kultúry v Amerike ( napr. Mayovia na polostrove Yucatan).

Prv než začali ľudia písať knihy o matematike, našla vyspelá spoločenská prax spôsob a prostriedky, ako odpovedať na niektoré otázky tam, kde je odpoveďou číslo, a to je tam, kde ide o veľké číslo.

V každom jazyku sa na istom stupni jeho rozvoja objavujú číslovky vo forme prídavných mien (druhý stupeň abstrakcie). Číslovka jedna, dve až päť sa objavujú väčšinou veľmi skoro. S číslovkami, ktoré vyjadrujú väčší počet, sú už prvé starosti a ťažkosti. V každom rozvíjajúcom sa jazyku dochádza k prekonaniu tejto ťažkosti. Ako odraz úspešných skúseností s počítaním sa tvorí názov pre skupinu určitého počtu predmetov. Nielen jazyky, ale aj číselné znaky písma poznajú skupinu desiatich prstov. Od toho je už len krok („krok“, ktorý však niekde trval aj stáročia), aby sa tvorili skupiny skupín.

Napríklad Egypťania už v najstarších záznamoch chápu pod skupinou dôsledne 10 predmetov, a tak osobitný znak označuje jednotku, skupinu jednotiek (= desať), ďalší znak je vyhradený pre stovku ako skupinu desiatok, ďalší pre tisícku ako skupinu stoviek. Babylončania rozoznávajú dva druhy skupín – desiatky a šesťdesiatky. Pre zápis veľmi veľkých čísel vystačia už len s opakovaním dvoch znakov: znaku pre jednotku a pre desiatku, pretože vynašli isté prvky pozičného spôsobu zápisu čísel (poloha znaku v zápise mení jeho význam). Tvorba skupín a skupín skupín umožňuje jednoduchým spôsobom vyjadriť veľké čísla.

Potreba počítať s veľkými číslami, ktorá si vynútila aj vytvorenie jazykových prostriedkov a príslušný odraz v zápisoch v Egypte aj v Mezopotámii, vyviera z viacerých prameňov. Z významu kalendára( kde sa nevystačí s malými číslami) a zo skutočnosti, že ide o veľmi rozsiahle centrálne riadené spoločenské útvary. Úspech v zabezpečovaní životných potrieb závisí od organizovaného úsilia veľkých más otrokov. K tomu pristupuje potreba vytvárať početný donucovací aparát – vojsko, potreba tvoriť veľké zásoby potravín, vytvoriť zložitý daňový systém, zvládnuť obchodný ruch veľkých rozmerov atď.

Vládcovia Egypta a Mezopotámie upevňovali svoje postavenie tým, že si získavali a podriaďovali znalcov kalendára, počtárstva a merania. Všetky známe poznatky využívali nielen na zabezpečenie prosperity, ale predovšetkým na ovládanie más. V Egypte a Mezopotámii sa už veľmi skoro vytvárala kňazská kasta, ktorej prvou spoločenskou úlohou bolo strážiť získané poznatky, hlavne kalendár. Táto rýchle získava prevládajúce postavenie. Poznatky sa stávajú výsadou vyvolených. Sú to „tajomstvá“, ktorých prezradenie sa kruto trestá.

Tým možno do istej miery vysvetliť známy rozpor medzi skutočnosťou, že počtárstvo a meračstvo starého Egypta a Babylonu dosiahlo vysokú úroveň, ale zanechalo po sebe len pomerne málo systematických záznamov. (Prvý štátny útvar v Mezopotámii vytvorili asi pred 6 000 rokmi Sumérovia, približne pred 4 000 rokmi tam vtrhli semitskí Akádi, splynuli s nimi a vytvorili spolu babylonský štát. Tu nájdeme aj vysvetlenie kombinovanej desiatkovo –šesťdesiatkovej sústavy popri desiatkovej sústave, ktorá sa neskôr týkala už len čísel menších ako 60). Z toho, čo sa zachovalo, sa dá bezpečne usúdiť, že Babylončania a Egypťania vedeli dôjsť k výsledkom, ktoré znamenajú vysoký počtársky výkon. Ich počtová technika bola vyššia ako u Grékov. V zachovaných matematických textoch starého Egypta nájdeme spolu s príkladmi a úlohami aj návod na ich riešenie. Úlohy sa však neanalyzujú, ale sa len opisujú. Neuvádzajú sa dôkazy správnosti postupu. Návody na presné riešenie sú premiešané s návodmi na približné riešenie. Egypťania zostavili svojrázny - dosť zložitý spôsob počítania so zlomkami, ktorý vyžaduje pomocné tabuľky. V meračstve sa orientovali na pravidlá výpočtu obsahu plôch a objemov (vrcholný výpočet – výpočet objemu zrezaného štvorbokého ihlana). Oveľa viac matematických textov sa zachovalo z Babylonu ako z Egypta. Umožňujú nám utvoriť si presnejší obraz o úrovni počtárstva a meračstva v tejto krajine. Tieto matematické texty pochádzajú z obdobia 2 000 rokov pred n.l. V Nippure bolo objavených 50 000 hlinených doštičiek veľkej „knižnice“, z ktorej väčšinu zničili Elamiti. Tam už vtedy bola tzv. škola kupeckých počtov pre obchodníkov.

Desiatkovo – šesťdesiatková číselná sústava (zahrňujúca už prvky pozičného princípu) umožňovala Babylončanom narábať s celými číslami a tiež zo šesťdesiatinnými zlomkami pomocou jednoduchých pravidiel. Delenie pomocou tabuliek obrátených čísel prechádzalo na násobenie. V textoch, ktoré sa objavujú neskôr, je výpočet týchto čísel dovedený až do ôsmeho šesťdesiatinného znaku! Okrem toho existovali tabuľky pre násobenie, umocňovanie a odmocňovanie. Veľké množstvo zápisov dokazuje, že tieto výdobytky sa plne využívali pri sledovaní a výpočtoch hospodárskeho života dvora a chrámov. Podrobné výpočty sa týkajú úrokov z dlhov! Existuje veľa textov (z obdobia Chamurapiho dynastie), ktoré sú venované riešeniu úloh, na výpočet ktorých musia použiť rovnice prvého, druhého, ba aj tretieho stupňa. Možno predpokladať, že už pred 4 000 rokmi isté počiatky vedeckých záujmov viedli v Babylone k ustáleniu všeobecnejších algebrických metód riešenia úloh v školách „pisárov“. Takéto texty sa vyskytujú neskôr zriedkavejšie, ustupujú (asi tak okolo roku 1 000 pred n.l.) výpočtovým metódam, zameraným na potreby presnejších astronomických výpočtov. V tejto súvislosti vznikajú pomerne rozsiahle tabuľky empiricky zistených rôznych závislostí, ktoré sú akýmsi predobrazom funkcie a premenných veličín. Babylonská počtárska a meračská tradícia sa udržuje v Asýrii, v Perzii a v helenistickej epoche. Z meračstva treba spomenúť isté začiatky trigonometrie v súvislosti s astronómiou, kde babylonské meračstvo presahuje hranice egyptského meračstva. Zaujímavá je skutočnosť, že Babylončania ( ba aj Číňania) poznali „ Pytagorovu“ vetu dávno pred Pytagorom.

Z histórie vieme, že obchodovanie, zakladanie obchodných prístavov, obchodných osád v stredomorí malo vplyv na rozšírenie matematických poznatkov. Tajomné poznatky „kalendárinkov“ Nílu, Eufratu a Tigrisu sa „zneužili“ pre veľmi praktické ciele. Meranie polohy a pohybu hviezd sa stalo samozrejmou súčasť náuky o námornej plavbe. Počtárstvo týchto zbohatnutých obchodníkov sa stalo majetkom širšieho okruhu ľudí než počtárstvo egyptských kňazov a pisárov. To malo asi nemalý vplyv na vývoj počtárstva a meračstva v Babylone a v nástupníckych štátoch, kde sa „svetský“ živel zmocňuje poznatkov omnoho skôr ako v ortodoxnom Egypte. To je jedna z ciest, ktorou sa tajomstvá predrali do šírych diaľav (pripomíname, že i spôsob zápisu zachovaných záznamov prezrádza úpornú snahu formulovať veci tak, aby im nezasvätení neporozumeli). Druhá cesta vedie cez praktické pokyny pri veľkých stavbách, ktoré sa neobišli bez istých geometrických poznatkov. Aj najtajomnejšie zdôvodnené návody, ako merať a stavať podľa nákresov v piesku, ako nájsť pravý uhol a merať iné uhly, museli byť nakoniec konkrétnymi návodmi, ak mali viesť k cieľu. Najzákladnejšie meračské poznatky, spojené s aplikáciou v stavebníctve, sa nevyhnutne rozšírili medzi široké vrstvy stavebných remeselníkov a skúsených školených otrokov. Skrátka, pozoruhodné egyptské stavby potvrdzujú vysokú úroveň meračov starého Egypta.

História hromadenia predpokladov pre vznik geometrie sa nelíši od histórie tvorby predpokladov pre vznik aritmetiky. Prvé hmlisté zárodky geometrických pojmov a poznatkov sa objavujú určite už v dobách, o ktorých niet záznamov. Vznikali nevyhnutne v procese praktickej činnosti ľudí. Príroda sama dávala na to dostatok podnetov. Kotúč Mesiaca v splne a oblúk dúhy, to boli prvé príklady na okrúhlosť, ktorú predbežne chápali ako prídavné meno. Rovná hladina tichého jazera, to bola konkrétna „rovina“. Lúč Slnka, kmeň rastúceho štíhleho stromu, to boli konkrétne „priamky“. Isteže to neboli rovné čiary, ani trojuholníky, štvorce, kružnice, s ktorými sa ľudia stretávali v prírode. Keď sa však človek, sledujúc svoje praktické ciele, aktívne staval k prírode, menil jej tvárnosť, zhotovoval predmety, stále viac a viac si všímal pravidelné formy. Mnohokrát človek musel formovať materiál, aby si mohol osvojiť predstavu, že materiálu pridáva „tvar“ , teda niečo , čo prv materiálu chýbalo, čo mu predtým nepatrilo, a čo teda možno abstrahovať do materiálu a jeho akosti. K tvorbe abstraktných geometrických pojmov prispela praktická činnosť. Najmä poľnohospodárska výrobná činnosť vyžadovala merať dĺžky, určovať vzdialenosti, odhaľovať plošný obsah a objem. Pomaly a postupne dochádza k objavom prvých geometrických závislostí. Tak s praktickej činnosti ľudí a z potrieb tejto praxe vyrastali predpoklady pre zrod geometrie.

Egypťania a Babylončania vedeli skutočne vypočítať obsahy a objemy, s presnosťou poznali vzťah obvodu kruhu k priemeru a pod. Ale táto „geometria“ nebola ešte teóriou. Bolo to, podobne ako u vtedajšej „aritmetiky“, iba zhrnutie istých pravidiel odvodených zo skúsenosti. Asi v 7. storočí pred n.l. prenikla egyptská „geometria“ do Grécka, kde ju rozvinuli do teórie.

V pôvodne nerozvinutej gréckej spoločnosti nebolo takej triedy, takej vrstvy, ktorá by bránila šíreniu poznatkov. O to dychtivejšie a rýchlejšie si osvojovali skúsenosti hvezdárov – amatérov z obchodných lodí. Gréci pracovali ako remeselníci v Egypte, kde sa učili praktickej geometrii. Po mori aj po suchu, priamo aj sprostredkovane (obchodovanie s Feničanmi), sa dostávali do styku s výkvetom kultúry celého antického sveta s jeho bohatými skúsenosťami. Tak sa stalo, že Gréci boli schopní vybudovať pyramídu logiky, ktorá ohlasovala zrod nového. Bola prísľubom budúcnosti.

Matematika v Číne

Všeobecne sa uvádza, že zakladateľmi matematiky boli starí Gréci. Skutočnosti to však zodpovedá iba vtedy, ak pod založením rozumieme dovŕšenie logickej výstavby základov matematiky. Bolo by však nesprávne chápať neobyčajne veľký prínos antickej gréckej kultúry k rozvoju matematiky tak, že iba ona priniesla prvé seriózne práce o matematike. Veď veľmi dôležité všeobecné geometrické pravidlá stanovili Číňania asi 500 rokov pred Grékmi.

Podobne ako v Egypte a Mezopotámii potreby rozvinutej spoločnosti v Číne dávajú bezprostredný podnet pre získanie poznatkov o počítaní a meraní. Počtárstvo a meračstvo bolo bezprostredne spojené so spoločenskou praxou. Veľké stavby (napr. Veľký čínsky múr, 221 - 206 pred n. l.), zavlažovacie systémy, cesty vyžadovali ucelené poznatky z astronómie a matematiky. Preto si práve matematika v tejto spoločnosti získala významné postavenie. Od 7. storočia museli uchádzači o štátnu službu skladať skúšku zo znalosti konfuciánskych klasikov (filozofia) a matematiky. Hlavnou učebnicou matematiky bol traktát Matematika v deviatich knihách, v nej sa nachádzali rozpracované algoritmy na riešenie určitých typov úloh. Vedeli riešiť sústavy lineárnych rovníc, niektoré kvadratické a diofantovské rovnice. Čínska aritmetika dosiahla veľmi vysokú úroveň. Čínski učenci už v 2. a 1. storočí pred n.l. opisujú pravidlá aritmetického riešenia systému troch rovníc prvého stupňa. Prvýkrát používali pri výpočtoch záporné čísla a formulujú pravidlá narábania so zápornými množstvami. Vedeli počítať druhú a tretiu mocninu daného čísla. V úlohách z praktickej geometrie používali podobnosť trojuholníkov, Pytagorovu vetu.

Je nesporné, že zo začiatku mali Číňania značný náskok pred ranými európskymi civilizáciami. Ich tvorcovia kalendára, počtári a merači netvorili výhradnú a uzavretú spoločenskú vrstvu, ako to bolo napríklad v Egypte. Zdá sa však, že rozšíreniu získaných poznatkov a ďalšiemu rozkvetu bránilo v Číne príliš zložité písmo, osvojenie ktorého bolo spojené s dlhým a nákladným vyučovaním. Faktom však zostáva, že uvedený náskok si Číňania dlho neudržali.

Úroveň poznatkov predvedeckej etapy rozvoja matematiky, je produktom státisísročného poznávacieho procesu celého ľudstva (nielen Egypta, Mezopotámie, Číny), ktoré menilo prírodu a tým aj seba. Tento proces prebiehal rýchlejšie, tam kde mal priaznivejšie podmienky.

Ako sa vyvíjala matematika

2. etapa: epocha elementárnej matematiky

Epocha elementárnej matematiky, t.j. matematiky stálych veličín , trvá vyše 2 000 rokov – od vzniku matematiky až do začiatkov 17. storočia, keď vzniká „vyššia matematika“.

Túto etapu možno rozdeliť na dve obdobia, ktoré sa líšia hlavným obsahom a zameraním. Prvé obdobie sa vyznačuje hlavne rozvojom geometrie a trvá od vzniku matematickej teórie asi do 2. storočia n.l. Druhé obdobie je obdobím rozvoja algebry a trvá do 17. storočia n.l. Začiatok skúmanej etapy rozvoja matematiky ( grécka, helénska a rímska matematika) spadá do otrokárskeho zriadenia. Druhé obdobie v podstate do feudalizmu ( Čína, India, Stredná Ázia, Blízky Východ a západná Európa).

Matematika v antickom Grécku

V 7.storočí pred n.l., keď možno zreteľne badať prenikanie plodov egyptskej, fenickej a ostatných kultúr do antického Grécka, vznikajú tu veľmi priaznivé podmienky pre ďalší rozvoj. Uplatňuje sa tu umenie diskutovať, argumentovať a rozlišovať úsudky. Vzniká matematická teória (najmä jej geometrická časť), ktorá zaznamenáva prudký rozvoj a rozkvet práve tak ako filozofia a umenie.

Gréci bohatnú a geometria sa stáva hračkou, koníčkom vzdelancov, ktorí stratili záujem o problémy nižších vrstiev, o problémy remeselníkov a námorníkov. Ťažisko rozvoja geometrie a matematiky vôbec sa presúva z gréckej pevniny do Alexandrie, najväčšieho strediska lodného a mechanického umenia antického sveta. Alexandria absorbovala do seba všetku učenosť starého sveta, umenie lekárske, farbiarske, strojárske a moreplavecké. Zvláštny význam malo založenie prvého múzea, knižnice a univerzity v dejinách ľudstva. Za 300 rokov je Alexandria dejiskom najväčšieho rozkvetu vzdelanosti starého sveta – zatiaľ čo prvé centrum, materské Grécko, v matematike už prešľapuje na mieste a len málo pokročilo od tej doby.

Po búrlivom rozkvete sa grécka matematika stále viac odtrháva od praxe a postupne upadá. Niekoľko storočí predtým, než sa tento úpadok stal zjavným, vzniká nové centrum štátnej, vojenskej a hospodárskej moci. Grécke spoločenstvo sa dostáva do područia Ríma. Rím ani v období najväčšieho rozkvetu nedáva matematike vôbec nič. Dokonca aj Rímom porazené Grécko ide vo vedách a v umení ešte stále o niečo vpred a v tomto smere trvale prevyšuje víťazný Rím.

Alexandrijské obdobie gréckej matematiky sa začína vlastne kulmináciou gréckej matematiky. Ďalšie objavy a náznaky nepadajú však do úrodnej pôdy.

Za spomenutých priaznivých spoločenských podmienok dochádza v období všeobecného rozkvetu kultúry antického Grécka k systemizovaniu a zovšeobecneniu veľkého množstva nazhromaždených poznatkov antického sveta, dochádza k vzniku elementárnej geometrie. Systém geometrie , vypracovaný v antickom Grécku, sa stáva vzorom deduktívnych systémov a vzorom výstavby matematickej teórie pre ďalších 2 000 rokov. (V 17. storočí n.l. začína Descartes v podstate tam, kde pred 2 000 rokmi skončil Euklides.) Jeho vypracovanie je spojené s menami veľkých učencov starého Grécka, ako bol Tales z Milétu ( zakladateľ tzv. iónskej školy ), Demokritos z Abdery, Pytagoras zo Samasu. Už v prvom období rozvoja dosahuje grécka geometria významné výsledky. Je zaujímavé sledovať, ako sami grécki učenci hodnotia príspevok Grékov k rozvoju geometrie. Historik Herodot ( asi roku 460 pred n.l. ) vidí zrod geometrie v Egypte. Je známe, že Tales, Pytagoras, Demokritos, Eudoxos a Platón cestovali do Egypta, aby sa naučili meračskému umeniu. Výsledky, ktoré dosiahli , porovnávajú zo začiatku s vedomosťami egyptských meračov.

Demokritos napríklad hovorí: Zo všetkých mojich súčasníkov som práve ja prešiel najväčšiu časť zeme, navštívil najvzdialenejšie kraje, skúmal najrozdielnejšie podnebie a počul najviac ľudí. Niet človeka, ktorý by ma v meračských nárysoch a dôkazoch prekonal, nevnímajúc z toho ani egyptských meračov, medzi ktorými som strávil plných päť rokov života. Demokritos je charakteristický výrazným materialistickým chápaním vzniku a hybných síl vedy (a v nej geometrie). Zatiaľ čo on vidí zdroj poznania v praxi a považuje za správne a prirodzené rozdávať vedomosti, zakrátko badať aj prejavy opačných tendencií. (Z Demokritových 80 prác, ktoré boli zväčša v Alexandrijskej knižnici zničené, zostali iba fragmenty. Známe sú však tituly jeho prác. )

Pytagoras zo začiatku učí pomerne široké poslucháčstvo, ale neskôr sa stáva jeho škola uzavretým centrom. Jeho žiaci sa prísahou zaväzujú neprezradiť „tajomstvá“, ktoré im zveril.

Hyppasos z Metapontu (člen pytagorejského bratstva – v polovici 5. storočia pred n.l.), ktorý prišiel na konštrukciu pravidelného päťuholníka a objavil pravidelný päťuholníkový dvanásťsten, bol vraj usmrtený, pretože vyzradil tajomstvá.

Vrcholným dielom sú Euklidove Elementy (3. storočie pred n.l.), ktoré vďaka alexandrijskej škole a jej vplyvu na ďalší rozvoj matematiky zostali zachované (cez arabskú matematiku). Je nesporné, že pred Euklidom vzniklo už veľa vážnych geometrických prác, ale tieto sa nezachovali práve preto, že ich vytláčalo Euklidovo geniálne dielo. Zhŕňajúce a vyčerpávajúce všetko to, čo sa za niekoľko storočí v geometrii odkrylo (Známe je napríklad dielo Hippokrata z Chiosu, ktorý žil 440 pred n.l.). Euklides sa opiera o Taletove, Pytagorove, Hippokratove a Eudoxove objavy. Jeho Elementy (Základy) tvoria dodnes hlavný obsah vyučovania geometrie na strednej škole.

Astronomické merania a výpočty dali podnet k vzniku trigonometrie. Eratostenes (275-194 pred n.l.) meria obvod Zeme. Po ňom zlepšuje odhad Poseidonios (100 r. pred n.l.) a zlepšuje ho na presnosť, ktorá je na tú dobu obdivuhodná. V Alexandrii prevláda názor, že Zem je guľatá. Je zaujímavé, že Bion (Demokritov žiak) rozprával svojim žiakom o miestach na Zemi, kde Slnko o polnoci nezapadá (polárny kruh). Aristarchoss odhaduje priemer Mesiaca na 1/3 priemeru Zeme (8 %-ná chyba), Hipparchos odhaduje vzdialenosť Mesiac –Zem na cca 400 00 km (8 %-ná chyba).

Kleomenes odhaduje vzdialenosť Zem –Slnko na 13 000 polomerov Zeme (neskôr 17 400 polomerov.). Hipparchos (okolo roku 150 pred n.l.) zostavuje zoznam 1 080 stálic, ktorý veľmi dlho slúžil praktickým účelom (používal sa aj na maurských univerzitách v Kordóbe, Seville, v Tolede). Archimedes zo Syrakúz (287-212 pred n.l.) zostrojuje model, ktorý znázorňuje otáčanie oblohy a zmeny v postavení hviezd.

Okrem praktickej astronómie a geodézie boli spoločenským podnetom pre rozvoj geometrie a potreby mechaniky. Napríklad Archimedes píše Eratostenovi, že mechanika mu umožnila nájsť mnohé z matematických poznatkov. Apolónios z Pergy (200 pred n.l.) rozvíja teóriu kužeľosečiek až k „hraniciam“ Descartovskej geometrie. Poslední z veľkých matematikov Diofantos a Teon používali geometrické nákresy, aby podľa nich (ako návody) vykonali rôzne výpočty.

Taktiež pre rozvoj aritmetiky a pre začiatky algebry znamená toto obdobie veľký prínos. Položili základy teórie čísel. Niektorí matematici (Diofantos 240 –330 n.l.) sa zaoberajú riešením rovníc celými číslami. Poznali už riešenie rovníc druhého a tretieho stupňa, vlastnosti aritmetických a geometrických radov atď., teda mnoho z toho, čo predstavuje základy elementárnej algebry.

Diofantos z Alexandrie pri formulácii používa skrátené prehľadnejšie vyjadrovanie a prvý vytvára algebraický jazyk. Pojem neznámeho čísla (neznámej)vystupuje u neho veľmi jasne. Nazýva ho aritmos (skratka ar), jeho druhú mocninu dymnamis, tretiu mocninu kubos. Známe čísla rozlišuje od násobkov neznámeho čísla slovom monas (= 1; skratka mo . Pre odčítanie používa symbol (sčítanie osobitne nenaznačuje, sčítancov zapisuje vedľa seba). Naše rovná sa („=“) nahradzuje is .

Tak rovnica 7x + 5 = 3x + 25 by pri jeho spôsobe zápisu vyzerala takto:

7ar 5mo is 3ar 25mo

a riešenie, (x = 5): ar is 5mo.

Chýbalo však to hlavné: záporné čísla, nula iracionálne čísla zbavené geometrie a rozvoj systému označení pre všeobecné čísla.

Zaujímavý je vývoj jednej z najstarších matematických teórií: teórie (prirodzených) čísel, ktorá má veľa zvláštností. Dodnes budí záujem nematematikov a v rôznych obmenách sa objavujú jej úlohy ako hádanky pre vynaliezavých riešiteľov. Napríklad problém rozmiestnenia prvočísiel je približne taký starý ako teória čísel (o tom svedčí aj Eratostenova sieť). Iným veľmi starým problémom je problém tzv. dokonalých čísel. (prvé dve boli známe už dávno v staroveku). Predmetom záujmu boli aj tzv. zviazané čísla. Uviedli sme niekoľko málo príkladov, na potvrdenie toho, že veľa problémov z teórie čísel, ktoré nadhodili matematici gréckeho obdobia, dodnes odoláva pokusom o riešenie. Teória čísel so svojimi nevyriešenými problémami zohrala dôležitú úlohu v rozvoji ostatných častí matematiky. Metódy riešenia jej problémov znamenali poväčšine významné obohatenie prostriedkov pre riešenie tých problémov, ktoré sú bezprostredne spojené so spoločenskou praxou.

Matematika Východu- matematika v Indii

Prejdime k výsledkom druhého obdobia tejto etapy rozvoja matematiky. Popri skvelých výsledkoch v geometrii a sľubných začiatkoch v teórii celých čísel zanechalo antické Grécko veľa nevyriešených problémov. Veličina a číslo boli pre Grékov dva úplne rozdielne pojmy. Prevaha geometrie a podriadenosť ostatnej matematiky zakrývali rozpory a brzdili rozvoj ostatnej matematiky. Indovia začali práve tam, kde boli nedostatky gréckej matematiky najciteľnejšie. Zatiaľ čo Gréci nevedeli počítať so zlomkami, Ind Brahmagupta (6 stor. n.l.) píše už o pravidlách pri násobení zlomkov. Gréci nepoznali nulu, ale u Indov sa nula („suna“) objavuje už asi okolo roku 5000 n.l. Indovia spájajú predstavu čísla s predstavou číselnej osi. Kde istý bod je nula, body napravo sú kladné čísla, body naľavo sú čísla záporné. Postupovať smerom vpravo znamená čísla pripočítavať, postupovať vľavo znamená odčítať. Indický prínos neprelamuje len Grékmi neprekonanú hranicu medzi kladnými a zápornými číslami alebo medzi číslami celými a racionálnymi (racionálne číslo je číslo, ktoré možno vyjadriť ako zlomok a v čitateli má číslo celé, v menovateli prirodzené), ale aj hranicu medzi číslami racionálnymi a iracionálnymi (číslo, ktoré nie je racionálne, sa nazýva iracionálne – tieto názvy boli prijaté neskôr).Tak vzniká možnosť chápať veličinu ako reálne číslo(číslo racionálne aj iracionálne je skutočné – reálne číslo).

Ako vieme, Gréci značne rozvinuli geometriu, nedošli však k iracionálnym číslam. Tieto čísla zostali pre nich záhadou a zabraňovali spojeniu geometrie s aritmetikou. . K prekonaniu rozporov, na ktoré narazili Gréci a k spojeniu geometrie s aritmetikou došlo až u matematikov Východu. Konkrétnym výsledkom procesu prekonávania uvedených rozporov bol pojem reálneho čísla.

Matematici Východu boli tiež prví, ktorí prišli so základnými úkonmi s reálnymi číslami. Či však už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie abstraktných reálnych čísel a či o vzťahy medzi nimi, ktoré vyjadrujeme slovami „väčší“, „menší“, „rovná sa“, odrážajú vzťahy skutočnosti (napríklad sčítanie = skladanie úsečiek). Teda tieto úkony a vzťahy nie sú „vyšpekulované“, ale sú to úkony a vzťahy, ktoré sa v praktickom živote vyskytujú v konkrétnej forme.

Rozšírenie systému čísel na systém reálnych čísel, ktoré umožnil aj objav nového indického „číselného slovníka“, bol skutočne revolučným krokom aj pre praktické výpočty, aj pre samotnú teóriu.

Zaujímavý je osud záporných čísel, ktoré Indovia definitívne prijali do rodiny čísel (Brahmagupta označuje záporné číslo bodkou nad číslom). Je známe, že Diofantos z Alexandrie už rozoznáva pridávané a uberané čísla. Starí Číňania počítali tiež so zápornými číslami. Indická predstava záporných čísel, spojená s číselnou osou, na ktorej má čestné miesto nula, upadla takmer do zabudnutia. Ťažko a dlho sa domáhala domovského práva u európskych matematikov. Mnohí záporné čísla nazývali: „čísla absurdné, fiktívne, falošné...“.

Indickí matematici boli pokračovateľmi riešenia rovníc prvého a druhého stupňa, ktorými sa zaoberali grécky matematici (napr. Diofantos z Alexandrie). Medzi najznámejších patria Aryabhatta (druhá polovica 5. sto. n.l.), už spomenutý Brahmagupta (okolo 6.str.n.l.), Mahavira (okolo roku 850, prišiel na pravidlo o delení zlomkov, ktoré používajú naši žiaci dodnes) a Bhaskara (1114 – 1185), účastník najväčšieho rozkvetu matematiky v Indii. K jeho dielu Lilavati (Čarovná), ktoré obsahuje mnoho úloha ich riešení, pridali indickí nasledovníci už len málo. Indovia vytvorili veľmi bohatý algebrický slovník. (zaujímavý je pokus Indov označovať neznáme čísla rôznymi farbami.) S obľubou používajú poetickú formu, ktorá nám neraz sťažuje pochopenie úlohy.

Matematika v Islamských krajinách

V 9. až 15. storočí je centrom matematiky Stredná Ázia. Spoločenské a kultúrne predpoklady: rozkvitanie obchodu v prístavoch, rozvoj remesiel, stretnutie sa s kultúrami národov, ktoré si podrobili – Egypt, Mezopotámiu, Perziu,...Arabi založili vedeckú akadémiu - Dom múdrosti v Bagdade – kalif al-Mamún (813-833). Čerpali zo základných diel gréckej a indickej matematiky.

V rukách Arabov, aj arabsky hovoriacich a píšucich učencov Stredného Východu, sa spájajú vrcholné výsledky gréckej matematiky indickými poznatkami. Tu sa úspešne formuje elementárna algebra a trigonometria. (Algebra je v podstate náuka o aritmetických úkonoch všeobecne chápaných v abstrakcii od konkrétnych čísel. Omar Chajjám, arabský matematik, ktorý žil v rokoch 1048-1122, definuje algebru ako náuku o riešení rovníc. Táto definícia sa zachovala až do konca 19. storočia.). Treba pripomenúť, že matematici tohto (východného) obdobia sú zväčša súčasne hvezdármi. Dochádza k spojeniu matematiky s astronómiou. Zásadný rozdiel v porovnaní s hvezdármi – počtármi starého Egypta spočíva v tom, že arabskí hvezdári a ich žiaci boli úzko spojený s praxou, a to s moreplavectvom. Ich tabuľky slúžili ešte dlhé roky aj posádkam európskych lodí, ktoré plávali po ďalekých moriach. Je známe, že európske lode brávali na svoje plavby odchovancov maurských univerzít. Používajú tabuľky pre trigonometrické funkcie. Tu vznikajú diela Alhavarizmiho (Al-Chorezmiho), Al-Birúniho (973-1048, katalóg hviezd – encyklopedista), Ulun Bega, Omara Chajjáma, Nasiredina Tusi a Džemišida. Arabskí matematici boli učiteľmi Európy. Al-Chorezmí (780 - 850) „otec“ arabskej matematiky, poznal matematické diela Brahmaguptu, babylonskú matematiku i gréckych autorov. Napísal knihy o riešení kvadratických rovníc, o indickom počítaní (10-ková sústava). Od jeho mena je odvodené slovo algoritmus (algorizmi). Aj názov algebra vznikol skomolením a skrátením názvu Al-Chorezmiho diela (jeho plné meno je Abú Džafar Mohamed ibn Músá al Chorezmi) Al gabr v’almukabalah (doplňovanie a vyrovnávanie). Pri prepise do latinčiny dostáva jeho dielo názov Algebra et almucabala a skrátene Algebra, čo sa dnes pre istú oblasť matematiky zachovalo dodnes. Skratky a pôvodne dobre vyvinutý algebrický slovník Indov arabskí matematici nepreberajú, aj keď práve u nich dochádzka k zlúčeniu a obohateniu podstatných indických a alexandrijských výsledkov. Od Arabov sa dodnes zachoval napríklad symbol pre odmocninu „?“. Už spomenutý Omar Chajjám ospevuje v jednej zo svojich básní význam Indmi objavenej prázdnoty (= nuly) pre rozvoj matematiky týmto dvojverším:

„Hviezdy zapadajú a karavána

vychádza do úsvitu prázdnoty a ako má naponáhlo...

Slovnú formuláciu (až poetickú) úloh a ich riešení, ktorú používali arabskí matematici, sa pokúša skratkami a symbolmi zjednodušiť menej vyspelá, z tisícročného spánku prebúdzajúca sa Európa.

Kresťanská Európa, ktorá sa izolovala od pohanského sveta a jeho kultúry, poznáva dosť neskoro ako zaostala. Križiacke výpravy a obchod z Arabmi dávajú možnosť Európanom nazrieť do arabskej kultúry. Materiálny základ pre preberanie „zakázaných“ plodov arabskej matematiky dáva vznik nezávislej osvety obchodníckych vrstiev v prístavných mestách Talianska a neskôr v ostatných krajinách Európy. V obchodných a finančných kruhoch sa pri výpočtoch používajú indické číslice v západoarabskom podaní. Prvá minca v kresťanskom svete, ktorá používa tieto číslice, je sicílska minca z roku 1134. Neskôr nechýbali ani pokusy „vyzvedať“ na maurských univerzitách. Adelard z Barhu sa vydáva za mohamedána a študuje v Kordóbe (okolo 1120). Neskôr prekladá Euklidove a Alchorezmiho diela do latinčiny, prináša aj arabské hvezdárske tabuľky. Asi v tom čase študoval Gerard z Cremony v Tolede. Preložil približne 90 arabských textov. Kňaz Paciulo prekladá Bhaskarovu aritmetiku a uvádza aj Teónovu metódu výpočtu druhej odmocniny.

Medzitým sa už stáva rozumným zvykom povolávať odchovancov maurských univerzít ( a arabských univerzít vôbec) za učiteľov matematiky do európskych cirkevných školských centier a za hvezdárov – výpočtárov pri väčších plavbách. Takmer 4 storočia trvá tento proces preberania vedomostí. Európa prijíma, pohlcuje a len málo pridáva k tmu, čo dostala od svojich arabských učiteľov. Iba v 16.storočí nakoniec európska veda po prvý krát predbieha svojich učiteľov.

Matematika v Európe

V Taliansku , ale aj v iných európskych krajinách, objavujú sa praktické úlohy algebrickej povahy. Tovarová výroba , peňažníctvo a obchod sa vymaňujú kde –tu zo zastaralých obmedzení. Leonard Pisi ( Fibonacci – syn Bonacciho) píše Liber abaci, ktorá učí počítať, ale aj riešiť algebrické úlohy. Rozvíja sa jednoduchá algebrická reč so skratkami a symbolmi. Objavuje sa plus ( z latinského surplus) skracované na p, mínus skracované na m, ktoré v obchodníckej praxi nahradili neskoršie symboly „ +“ a „-„. V teórii sa iba nesmelo objavujú „ zabudnuté“ záporné čísla, ale o to častejšie sa objavujú v praxi (úbytok, strata, pasívum – vyžaduje si to aj rozvoj teórie rovníc). Reálne čísla sa trvale udomácňujú. Stifel píše o pravidlách riešenia kvadratických rovníc. Reč a algebrický zápis sa zjednodušujú, stávajú sa prístupnejším širokým vrstvám. Veľa hovoria je skutočnosť, že jedno z prvých diel tlačiarenského lisu – Widmanova kupecká počtovnica, ktorá vyšla v Lipsku v roku 1489 – už zavádza symboly „ +“ a „-„.O sto rokov neskôr zaviedla anglická kupecká počtovnica symboly „X“ (krát) a „=“ (rovná sa). Len pre zaujímavosť uveďme príklad vývoja zápisu rovnice druhého stupňa (publikovaný v Hogbenovi), ktorú si dnes žiak zapíše takto:

3x2 –7x+2=0.

Regiomontanus (1464):

3 Census et 2 demptis 7 rebus aequator zero

Pacioli (1494):

3 Census p 2 de 7 rebus ae 0

Viète (1591):

3 in A quad – 7 in A plano + 2 aequatur 0

Stevinus ( 1585):

3 2 7 1 + 2 • = 0

Descartes (1637):

3x2 –7x+2=0

Dôležitý je príspevok Vieta (Francois Viete, 1540-1603), ktorý zaviedol označenie neznámych veličín samohláskami a všeobecne známe veličiny označuje spoluhláskami. Ďalej vytvoril algebrický slovník, ktorý v tých časoch vyhovoval. Tento proces vypracovania algebrického slovníka a symboliky dovršuje až Descartes vo svojej Geometrii). Algebrický slovník a symbolika zohráva podobnú úlohu ako kedysi číselný slovník a číselná symbolika.

V poslednom období skúmanej druhej etapy sa završuje rozvoj elementárnej algebry, pokiaľ ide o riešenie rovníc o jednej neznámej. Dávno bolo známe algebrické riešenie rovníc prvého a druhého stupňa ( geometrické riešenie už v antickom Grécku).V Cardanovej Ars Magna (Veľké umenie) z roku 1545 je po prvý raz uverejnené algebrické riešenie rovníc tretieho a štvrtého stupňa. Na riešenie rovnice tretieho stupňa prišiel ako prvý istý Scipione del Ferro a štvrtého Cardanov žiak Ferrari.

Ďalších 300 rokov, (ktoré spadajú väčšinou do ďalšej etapy) sa usilovne robili pokusy riešiť algebricky rovnice vyššieho ako štvrtého stupňa. Ukázalo sa, že druhá etapa vyčerpala už všetky možnosti elementárnej algebry práve tak, ako by v jej prvom období boli grécki matematici vyčerpali všetky možnosti elementárnej geometrie. Nové úlohy hlučne klopali na dvere a možnosti starých koncepcií boli už vyčerpané. Podobne ako v spoločenskom živote, atak aj v myslení sa museli prelomiť hranice navyknutého spôsobu života, aby mohol nastúpiť ďalší, veľmi prudký rozvoj. Tak to bolo aj v matematike. Rozvinutá elementárna geometria a trigonometria, aritmetika a elementárna algebra, ktorá predstavovala výsledky vývoja po celé dve dlhé etapy, postavila nové úlohy, ktoré sa dovtedajšími metódami nedali riešiť. Muselo prísť niečo nové vnúti samej matematiky, niečo, čo prerástlo svojich „rodičov“. Vznik a rozvoj „nového“ predpokladá spravidla nové podmienky. Tieto vytvoril prudký rozvoj výrobných síl , ktoré prelamovali hrádze spoločenského života a myslenia. Tým je charakteristický prechod matematiky do ďalšej etapy.

3. a 4. etapa – matematika premenných veličín a súčasná matematika

Spomenuli sme už , že výsledky ďalšieho rozvoja matematiky sa vymykajú už z rámca, ktorý má vyučovanie na strednej škole. Históriu tretej etapy dobre spracoval H. Wieleitner. O štvrtej etape existuje rozsiahla literatúra, ktorá je však máloktorému čitateľovi prístupná formou podania ( snaha o sprístupnenie výsledkov modernej matematiky – Cesty moderní matematiky...)

Skúmanie pohybu sa stalo koncom 16. storočia ústrednou úlohou prírodovedy. Spoločenská prax žiadala lepšie zvládnuť zákonitosti pohybu a zmeny v rôznych oblastiach javov. Potreba rozvoja stavala prírodné vedy pred skúmanie pohybu, rôznych zmien a závislostí medzi zmenami rôznych veličín. Ako odraz spoločenských vlastností meniacich sa veličín a závislostí medzi nimi vznikol v matematike pojem premennej veličiny a funkčnej závislosti. To bolo to nové, čo určilo prechod matematiky k „vyššej matematike“, k matematike premenných veličín. Matematický pojem premennej veličiny a funkcie to nie je nič iné ako abstrakcia, zovšeobecnenie konkrétnych premenných veličín – aké sú čas, dĺžka, rýchlosť, sila atď. – a konkrétnych závislostí medzi nimi. Napríklad Galileo Galilei objavuje zákon voľného pádu.

Základným pojmom vyššej matematiky je pojem premennej veličiny a funkcie. Ide o pojmy s vysokým stupňom abstrakcie. Abstrakciou od konkrétnych funkcií vzniká pojem funkcie vôbec. Oblasť, ktorá sa zaoberá funkciami, sa nazýva analýza, matematická analýza (analýza nekonečne malých veličín). Funkcia je abstraktný obraz závislostí jednej veličiny od druhej.

Pojmy premennej veličiny a funkcie v konečnom tvare nevznikli u Galileiho, Descarta, Newona, Leibnica atď. Predobrazy možno vypátrať už v dávnom Babylone, Grécku i u indických a arabských matematikov. Definícia funkcie pochádza z 19. storočia, a nie je uzavretou záležitosťou ani dnes.

Analýza závažným spôsobom ovplyvňuje rozvoj všetkých doterajších matematických teórií, pretvára ich náplň, novým postupom rieši nejednu z nevyriešených úloh a presvedčivým spôsobom demonštruje jednotu celej matematiky. V rámci analýzy sa rozvíja teória radov, teória diferenciálnych rovníc, variačný počet atď. V 19. storočí sa rodí ďalšie veľmi významné odvetvie: teória funkcií komplexnej premennej veličiny (francúzsky matematik Cauchy). Jej počiatky badať síce ešte u starších matematikov ( napr. u Eulera), ale pre jej prudký rozvoj bola rozhodujúca skutočnosť, že táto nová teória mala v rôznych oblastiach teórie a praxe (najmä technickej – hydrodynamika, aerodynamika atď.) neobyčajne bohaté zastúpenie. Podobne je to v teórií čísel. Euler uvádza metódy analýzy do teórie čísel, a tak zakladá tzv. analytickú teóriu čísel, ktorá dosahuje nemálo závažných výsledkov.

V algebre sa takmer 300 rokov robili pokusy algebricky riešiť rovnice vyššieho ako štvrtého stupňa (Euler, Leibniz, Gauss, Abel, Ruffini, Galois, Goldbach, Pervušin, Čebyšev...) Abelovo a Galoisovo dielo, to je začiatok teórie grúp, ktorá sa neskôr ukázala ako veľmi významná aj mimo algebry ( v kvantovej mechanike, a v kryštalografii), v analýze a v geometrii. Je to tiež začiatok novej modernej, súčasnej algebry. Algebra bola povodne náuka o aritmetických výkonoch s číslami, ktoré sa chápali formálne vo všeobecnom tvare, v abstrakcii od konkrétnych čísel. Čísla sa stávali všeobecnými číslami. Súčasná algebra ide však v tomto zovšeobecnení oveľa ďalej. Tu sa už neskúmajú len čísla a výkony s nimi, ale veličiny, objekty, prvky veľmi všeobecnej povahy ( oveľa všeobecnejšej ako čísla) a výkony d týmito prvkami, ktoré len po svojej formálnej stránke pripomínajú niektoré známe vlastnosti výkonov, ako napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

No ani geometria nezostala pri tom, čo sme predbežne uviedli. Nezostáva pri trojrozmernom Euklidovskom priestore, ale skúma priestory viacrozmerné. Ba vďaka objavom Lobačovského, Bólyaiho a Riemanovým (ktoré znamenajú zásadný obrat), neobmedzuje sa na euklidovskú geometriu a skúma všeobecnejšie možné neeuklidovské formy priestoru, ktoré neskôr neobyčajne dobre poslúžili rozvoju modernej teoretickej fyziky.

Osobitnú zmienku si zaslúži zrod a rozvoj teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, ktorý spadá tiež do skúmaných etáp. Tá vďačí za svoj vznik a rozvoj predovšetkým šírke použitia, vyvierajúcej z toho, že táto teória riešila závažné úlohy istej oblasti výskumu a praxe, a to také úlohy, ktorých riešenie predtým nebolo známe. Nikto nepochybuje, že už v antickom Grécku existovali matematické hry a zábavy, tie však neboli rozhodujúce pre rozvoj tejto teórie. Teória pravdepodobnosti a matematickej štatistiky našla úspešné použitie v rôznych oblastiach fyziky (kinetická teória plynov, termodynamika, neskôr kvantová mechanika a iné).

To, že ani veľmi úspešné úsilie matematikov predchádzajúcich storočí neznamená utvorenie ukončeného systému v matematike, ukazuje ďalší vývoj, ktorý trvá dodnes. Pokiaľ ide o geometriu, algebru a analýzu, je charakteristickou črtou súčasnej matematiky veľkému rozšíreniu predmetu matematiky ruka v ruke s veľkým rozšírením jej aplikácií. Vytvárajú sa nové zovšeobecňujúce pojmy, dosahuje sa nový, oveľa vyšší stupeň abstrakcií. Dobrým príkladom môže byť vznik ďalšej teórie: tzv. funkcionálnej analýzy. Táto vzniká na základe rozvoja analýzy a matematickej fyziky, spájajúc niektoré nové myšlienky algebry a geometrie. Má významné upotrebenie v atómovej fyzike, kvantovej mechanike a inde. Rozvoj nových zovšeobecňujúcich pojmov zabezpečuje, okrem iného, upevnenie jednoty matematiky aj napriek jej prudkému rastu a neustálemu rozvetvovaniu.

V matematike pokračuje proces rozboru a spresňovania jej základov, vzájomných súvislostí pojmov, a štruktúry jednotlivých teórií. Skúmajú sa metódy matematických dôkazov. Rozvíja sa tzv. matematická logika. Predmetom súčasnej matematiky sú, viac ako kedykoľvek predtým, nielen dané, ale aj možné kvantitatívne vzťahy a formy.

Zdroj: A. Kotzig, Matematika a spoločnosť